قوانين ضعف الزاوية هي أحد قوانين حساب المثلثات المهمة، يتكون من ثلاثة أشكال (الجا، والجتا، والظا)، ويمتاز كل شكل بقانون مختلف، يعمل فهم تلك القوانين على إدراك الروابط بين النسب المثلثية وذلك من حيث الصلة بصيغة الزوايا المزدوجة، فما هي قوانين ضعف الزاوية هذا ما سنتعرف عليه في ميرال نيوز.
قوانين ضعف الزاوية
ترتبط القوانين الخاصّة بضعف الزاوية بالنسب المثلثية المعروفة وهي:
- جيب الزاوية (جا).
- جيب تمام الزاوية (جتا).
- ظل الزاوية (ظا).
- تعمل تلك النسب على إظهار العلاقة بين جوانب المثلث القائم الزاوية مع زوايا محددة في المثلث.
- كما يقصد بضعف الزاوية هو الزيادة في حجم الزاوية بحيث تصبح ضعف حجمها.
- حيث يمكن تحقيق ضعف الزاوية عن طريق ضرب قياس الزوايا في العدد٢.
صيغة قانون ضعف الزاوية
- جا (٢س)= ٢جا (س) جتا (س)= ٢ ظا (س)/ (1+ظا² (س)).
- جتا (٢ س)= جتا² (س) – جا² (س)= ٢ جتا ²(س) -1 = 1-2 جا ²(س)= (1- ظا²(س)) /(1+ ظا² (س)).
- ظا (٢س)=٢ ظا (س) / (1- ظا² (س)).
إثبات قوانين ضعف الزاوية
جيب زاوية مزدوجة:
الإثبات لقانون ازدواج جيب الزاوية وهو:
sin 2 α = 2 sin α cos α
البرهان:
جيب المجموع لزاويتين هو:
- sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β.
- في حالة استخدام الجانب الأيسر من المعادلة
- ( α + β )، والتعويض عن β باستخدام α نجد أن:
- sin ( α + β ) = sin ( α + α ) = sin2 α (١).
في الجانب الأيمن:
- sin α cos β + cos α sin β.
- كما يتم التعويض عن β بإستخدام α كما تم في الجانب الأيسر من المعادلة، لذا نحصل على
- sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α (٢).
- بالتعويض في ١ و ٢ نجد أن:
- sin 2 α = 2 sin α cos α
- ذلك ما يسمى جيب الزاوية المزدوجة.
جيب التمام لضعف الزاوية:
لإثبات قانون جيب التمام لضعف الزاوية
cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α
البرهان:
جيب التمام للزاويتين:
- cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β.
- في حالة استخدام الجانب الأيسر من المعادلة
- ( α + β )، والتعويض عن β باستخدام α نجد أن:
- cos ( α + α ) = cos (2 α. (١)
- في الجانب الأيمن:
- cos α cos α – sin α sin α = cos2α – sin 2 α. (٢)
- بالتعويض في ١ و ٢ نجد أن:
- cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α.
أمثلة على قوانين ضعف الزاوية
بعض الأمثلة التطبيقية على قوانين ضعف الزاوية ومنها:
المثال الأول:
- ص هي زاوية موجودة في الربع الثالث، وقيمة جا (ص) = – ٣/ ٥، فما هي قيمة جا(٢ص)، جتا(٢ص)، ظا (٢ص).
الحل:
- عن طريق تطبيق قانون فيثاغورس، والقيام بتمثيل الأرقام في المثلث القائم الزاوية.
- مع العلم ان جيب تمام الزاوية تكون قيمته سالبة في الربع الثالث، وتكون قيمة الظل موجبة، نجد أن:
- جتا(ص)= -٤ /٥ ظا (ص)= ٣ / ٤.
- بتطبيق القانون جا(٢ص)= ٢ جا (ص) جتا(ص) =٢ ×- ٣/ ٥ × -٤ /٥ =٢٥/٢٤.
- وتطبيق القانون جتا (٢ ص) = ١- ٢ جا ٢( ص) =١- (٢× (٣/ ٥ )٢) =٠,٢٨
- بتطبيق قانون ظا (٢ ص) = ٢ظا (ص) / (١ – ظا(ص) ٢) = ٢×( ٣/ ٤) / (١- (٤/٣)٢ ) =٧/٢٤.
المثال الثاني:
إذا كان جا (س) = ٠,٦و( س) زاوية حادة، فما هي قيمة جا ( ٢س)؟
الحل:
- يتم في البداية تحويل قيمة جا(س) إلى كسر عبارة عن بسط ومقام، ليتحول جا(س) إلى ٦ /١٠.
- بتطبيق قانون فيثاغورس والقيام بتمثيل الأرقام في المثلث قائم الزاوية نجد أن: جتا (س) = ١٠/٨.
- وتطبيق القانون جا(٢س) = ٢ جا(س) جتا(س)= ٢× ١٠/٦ × ١٠/٨= ٥٠/٤٨= ٠,٩٦.
المثال الثالث:
جا (س) = ص، فما هي قيمة جتا (٢ س)؟.
الحل:
- بالتطبيق المباشر للقانون جتا (٢س) =١- ٢
- جا٢ (س) = ١- ٢ ص٢.
