بحث عن القطوع المكافئة توجد أربعة أنواع من القطوع الرئيسية فى علم الرياضيات و التى تعرف بالقطوع المخروطية و ذلك لأنها تنتج عن تقاطع مستوى مع مخروط دائري ، و من الجدير بالذكر أن اشكال هذه القطوع تختلف وفقا لزاوية و موقع المستوى القاطع للمخروط ، و هذه الانواع الأربعة تتمثل فى الدوائر و القطع الناقص و القطع الزائد و القطع المكافئ الذى سنتحدث عليه فى السطول التالية لمقال اليوم . و إليكم المزيد من التفاصيل . فتابعوا معنا .
بحث عن القطوع المكافئة
القطع المكافئ واحد من أشهر أنواع القطوع المخروطية ، و هو رياضيا عبارة عن مجموعة من نقاط المستوى و الذى يبعد عن نقطة معينة بعدا يساوى بعدها عن مستقيم أخر ، و هذا المستقيم الثابت يسمى دليل القطع ، كما أن النقطة لا تنتمي للمستقيم و البعد من الدليل إلى المحرق يعطي بالعلاقة p=2a مع الأخذ فى الإعتبار أن a تكون المسافة بين المحرق و ذروة القطع أو البعد بين الدليل و الذروة .
معلومات عن القطع المكافئ
القطع المكافئ يعرف بأنه المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى ، و التى يكون بعدها عن نقطة ثابتة يساوى بعدها عن المستقيم الثابت فى نفس المستوى ، كما أن النقطة الثابته تعرف بالبؤرة و المستقيم الثابت يعرف بالدليل و رأس القطع المكافئ ، و فيما يلى ملخص عن القطع المكافئ فى حالتى الرأس ( 0،0) و ( د ، هـ) :
الصورة : س² + ل س + ك ص+ ي= 0 هى ( س-د) ² =4 أ ( ص -هـ) حيث أن ل = -2 د ، ك =-4 أ ، ي = د² + 4 أ هـ (1)
الصورة :ص² + ل ص + ك ص + ي= 0 هي ( ص – هـ )² = 4 أ ( س – د ) حيث أن ل = -2 هـ ، ك = -4 أ ، ي = هـ²+ 4 أ د (2)
ولذا فإن معرفة د ، هـ ، أ يعنى الحصول على كل الأمور التى تتعلق بالقطع المكافئ
معادلة القطع المكافئ
1- إذا كان القطع المكافئ مفتوح لليمين أو اليسار فى حالة إحداثيات ذروته (x0، y0) و تكون المعادلة بهذا الشكل :
(y -y0)² = 4a (x-x 0)
و إذا كان القطع المكافئ فى حال كانت ذروته تنطبق علي محور الإحداثيات تصبح معادلة القطع بهذا الشكل :
y² = 4ax
2- إذا كان القطع المكافئ مفتوح للأعلي أو الأسفل و فى حالة كانت إحداثيات ذروته (x0 , yo) فتكون المعادلة بهذا الشكل :
(x- x0)² = 4a(y- y0)
و إذا كان القطع المكافئ فى ذروته وتنطيق على مبدأ الإحداثيات تصبح المعادلة كما يلى :
x2 = 4ay
مثال علي ذلك :
المعادلة ص² – 10 س + 4ص – 26 = 0
ص² + 4ص = 10 س + 26 بفكرة إكمال المربع ص² ، 4ص
ص²+ 4ص + 4 = 10س + 26 + 4 إضافة رقم 4 إلى الطرفين
( ص + 2 )² = 10 ( س + 3 ) و هذه المعادلة قطع مكافئ
رأسه ( -3 ، -2 ) ، أ = 2.5 > 0 أى الفتحة ناحية اليمين
والبؤرة ( -0.5 ، -2 )
معادلة محور التناظر ص = -2
معادلة دليله س = -5.5 ( د – أ )
لاحظ أن المعادلة ص ² + 4 ص – 10 س – 26 = 0
فمن (2) – 2 هـ = 4 فإن هـ = -2 ، 4 أ = 10 فإن أ = 2.5 ، هـ 2 + 4 أ د = -26 فإن هـ = -3 ، وعليه الرأس ( -2 ، -3 )
نشأة القطع المكافئ و إيجاد معادلته ص ²= 4 أس
ن ب = ن ج و بإستخدام قانون البعد بين نقطتين
( س -1)² + ( ص -0 ) 2= ( س+ 1 )²+ (ص-ص)²
س2 -2أس +²1+ ص²= س2 +2أس + ²1+0
ص² = 4أس
مثال على إيجاد معادلة القطع المكافئ
أوجد معالة القطع المكافئ الذى رأسه نقطة الأصل و بؤرته (0، 4)f
بؤرته (3، -0) f ، و دليله المستقيم y = 3
الحل :
الرأس : نقطة الأصل (0،0)
البؤرة (4، 0)f ، و التى تنتمى إلى الجزء الموجب من محور السينات p = 4
معادلة الدليل x = -4 ( مستقيم رأسي )
معادلة القطع المكافئ تكون y² = 4px
معادلة القطع المكافئ هى y²= 16x
إستخدامات القطوع المتكافئة
- تصميم الكشافات الضوئية
- عدسات النظارات
- أطباق الإلتقاط ( الدش )
- المرايا المستخدمة فى التلسكوبات
- كافة الكواكب حول الشمس تسير بشكل قطع ناقص ، حيث تكون الشمس هي إحدى بؤرتى القطع
- الأفران الشمسية تستخدم المرايا المكافئة لتجميع أشعة الضوء لاستخدامها بالتسخين ، و التى تعتمد عيى خاصية القطع المكافئ
- القطع المكافئ يستخدم في تصميم المصابيح الأمامية للسيارة و الأضواء الكاشفة ، لأن هذا الأمر يساعد في تركيز شعاع الضوء
- يستخدم القطع الزائد في بعض أنظمة الملاحة طويلة المدى التى تعرف باسم loran
- تستخدم القطع الزائد في المجال العسكري ، حيث يساعد هذا الأمر فى تحديد مكان العدو عن طريق تحديد مكان صوت إطلاق النار بواسطة الرادار
خصائص القطع المكافئ
- القطع المكافئ المفتوح رأسيا إلى أعلى و إلى أسفل
- القطع المكافئ المفتوح أفقى إلى اليمين أو إلى اليسار
القطع الناقص
هو ذلك المحل الهندسي لمجموعة نقاط مستوية يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين ( البؤرتين ) يساوي مقدا ثابتا .
و من الجدير بالذكر أن النقطة المستقيمة التى تحتوى على البؤرتين و التى نهايتها على منحنى القطع الناقص المحور الأكبر و هو محور تماثل للقطع ، و تسمي نقطه منتصف المحور الأكبر المركز ، أما القطعة المستقيمية التى تمر بالمركز و نهايتها على المنحنى و المتعامدة مع المحور الأكبر ، و تعرف بالمحور الاصغر و تسمي نهايتها المحور الاكبر الرأسين ، بينما تعرف نهاية المحور الاصغر الرأسين المرافقين .
استخدامات القطع الناقص
- قاعدة الجسور
- إنشاء القطور
- مسارات دوران الكواكب
بحث عن القطوع المكافئة .. و فى ختام هذا المقال يمكننا القول أن علم الرياضيات من العلوم التى تجمع ألاف الاشكال و الاساليب الإحصائية و كل يوم فى تطور مستمر ، و من الجدير بالذكر أنه تحدثنا فى هذا المقال عن بحث عن القطوع المكافئة ، وأهم المعلومات عن القطوع المكافئة وخصائصها ، كما أشرنا أيضا إلى معادلة القطع المكافئ و نشأته و أهم استخداماته ، فضلا عن الإشارة إلى بعض الأمثلة عن القطع المكافئة و معادلتها و كيفية الحل.
