بحث عن المتتابعات والمتسلسلات التي يتم طرحها في علم الرياضيات، والبناء التطبيقي للرياضيات توضح، وتشرح الترتيب المنطقي لمجموعة من الأشياء المتشابهة وفق نمط تسلسلي معين، ونوضح ذلك مفصل في بحث عن المتتابعات والمتسلسلات بالتعريفات
بحث عن المتتابعات والمتسلسلات مفصل
تعريف المتتابعات
المتتابعة عبارة عن ترتيب معين لمجموعة من الأرقام التي تتبع قاعدة معينة، لهذا يتم معاملة المتتالية والمتتابعة على أنها دالة، لها مجال من مجموعة من الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية، ومدى الدالة هو مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية
– عناصر المدى تسمى بحدود المتتابعة، حتى وإن كانت المجموعة ن تمثل حدود المتتابعة، وعليه يكون ح ن تمثل الحد النوبي للمتابعة
– ومن الأمثلة التي توضح ذلك في بحث عن المتتابعات والمتسلسلات تتالي عدة صناديق، ويحمل كل صندوق مجموعة من العرائس، هذا الترتيب هو المتتابعة والعرائس داخل الصندوق هي قيمة حدود المتتابعة.
أنواع المتتابعات
المتتابعة الحسابية
المتتابعة أو المتتالية التي يكون الفرق فيما بين كلا من الحدين من الحدود الثابتة، ويرمز لهذا الفرق الثابت بين حدين المتتابعة د
– الحد الأول في بحث عن المتتابعات والمتسلسلات من حدود المتتالية أساس المتتالية ويرمز له بالرمز ح1
– ومن أشهر المتتابعات الأعداد الزوجية، والفرق بينها يكون حد ثابت وهو رقم 2 ، وعليه تكون المتتابعة لها قاعدة ثابتة، ومثال على ذلك ح ن = ح1+(ن-1)×د، حيث أن: ن هو العدد الذي يعبر عن ترتيب الحد المراد إيجاد قيمته، ح ن: قيمة الحد.
– ويمكن إيجادِ مجموع حدود المتتابعة الحسابية حتى حد معين، يسمى (ن) من خلال القاعدة الآتية المجموع = (ن/2)× (2×ح1+(ن-1)×د)
المتتابعة الهندسية
المتتابعة الهندسية هي متتابعة النسبة بين كل حدين من حديها ثابت، والمقصود هنا ناتج القسمة بين كل حدين، وتتبع المتتابعات الهندسية لقاعدة معينة، بحيث يمكن قياس جميع المتتاليات عليها، ومثال على ذلك ح ن = أ×ر (ن-1)، حيث أن:
- أ: الحد الأول من حدودِ المتتابعة الهندسية، ويُعرف بأساس المتتابعة.
- ر: النسبة الثابتة بينَ كل حدين من حدود المتتابعة الهندسية.
ويمكن إيجادِ مجموع حدود المتتابعة الهندسية حتى حد معين يسمى (ن) من خلال اتباع القواعد الآتية:
- إذا كانت ر<1 فإن: المجموع = أ×(1-ر ن)/(1-ر).
- إذا كانت ر>1 فإن: المجموع = أ×(رن-1) /(ر-1)
تعريف المتسلسلات
هي مجموعة لحدود المتتابعة، سواء كانت الحدود هنا هي دوال أو أعداد، أو هي مجموع الحدود المتتابعة، علما أن الأوساط الحسابية هي الحدود الواقعة بين الحدين، إذ أن المتسلسلة هي التي يتم الحصول عليها عبر وضع إشارة الجمع زائد الحدود المتتابعة
أشكال المتسلسلات
– المتسلسلة في بحث عن المتتابعات والمتسلسلات هي حدود المتتابعة، وهي ناتج جمع الحدود الأولى n من المتسلسل المجموع الجزئي ذات الرمز الـ SN ، والمتسلسلة الهندسية اللانهائية هي التي لها عدد لا نهائي من الحدود، والمتسلسلات لها نوعين المتسلسلات الهندسية المتقاربة، والمتسلسلات الهندسية المتباعدة
– المتسلسلات المنتهية هي التي يكون لها حد نهائي، ويتم الوقوف على مجموعها عند آخر حد فيها، كما أن المتسلسلات الغير منتهية مختلفة عن التي يكون لها حد نهائي، والحدود الأخيرة تكون عبارة عن نقاط
– تبدأ قاعدة المتسلسلة بالحد الأول، وتنتهي بالحد النوني أو بالحد الأخير
– مثال عن المتسلسلات الهندسية: جد مجموع المتسلسلة الهندسية: 4Σ ن=1 ( 2 × 3ن) ،الخطوة الأولى: لابد من إيجاد أول حدين من حدود المتتالية الهندسية ح 1= 2 × 31 = 6 = أ، ح 2= 2 × 32 = 18 ثم إيجاد قيمة ر = النسبة بين الحد الأول والحد الثاني = 18 / 6 = 3 ، ثم التطبيق في قانونِ ج ن = أ ( 1 – رن / 1 – ر )، وعليه تكون ج ن = 6 ( 1 – 34 / 1 – 3 ) = 240
