بحث عن المثلثات المتشابهة أولى ثانوي

بحث عن المثلثات المتشابهة أولى ثانوي .. بحث المثلثات المتشابهة ، بحث عن التشابه في الرياضيات doc والمثلثات المتشابهة في علم الرياضيات هي عبارة عن ظاهرة رياضية تحدث في حالة إن كانت مقاييس الضعلين المقابلين للمثلثين متماثلين وأيضاً في حالة إن كان هناك قياسات الضلعين والتي تكون في مثلث واحد تكون متماثلة مع الأضلاع المقابلة في مثلث أخر وكانت الزوايا المتضمنة متطابقة أيضاً وبذلك تكون المثلثات متشابهة .

عموماً فإن خاصية التشابه في علم الهندسة هي عبارة عن شكلين هندسيين متطابقين والذي يكون لهما نفس الأضلاع المتطابقة والمتشابهة ومثال على ذلك جميع الدوائر هي عبارة عن أشكال متشابهة لبعضهما البعض ولكن يكمن الإختلاف هُنا في نصف القطر للدائرة نفسها وللتشابه عموماً نوعين هما التشابه المباشر والتشابه الغير مباشر ولذلك فإننا سوف نعرض لكم بالتفصيل هُنا في هذا البحث تفاصيل المثلثات المتشابهة .

مفهوم المثلث في علوم الرياضيات والهندسة :

المثلث هو عبارة عن شكل هندسي أساسي في علوم الرياضيات والهندسة .
حيث ينتج المثلث عن رسم مجموعة قطع مستقيمة غالباً تكون عبارة عن ثلاثة قطع تُسمى الأضلاع .
حيث تصل تلك الأضلاع بين ثلاثة نقاط والتي تكون تلك النقاط ليست على إستقامة واحدة .
تمثل تلك النقاط الأساسية الرؤوس في المثلث .
وبالتالي يكون الناتج عندنا شكل هندسي مغلق يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا في شكله الهندسي .
وبالنسبة للمثلث فإنه يحتوي على مجموع ست عناصر هم ثلاثة أضلاع أساسية وثلاثة زوايا أساسية .
ويكون مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث هندسي يساوي 180 درجة.
ويكون أيضاً مجموع طولي أي ضلعين في أي مثلث يكون دائماً أكبر من طول الضلع الثالث للمثلث .

أنواع المثلثات في علوم الرياضيات والهندسة :

يوجد للمثلث أنواع كثيرة والتي تختلف حسب أطوال الأضلاع وحسب الزوايا الداخلية للمثلث وهم كما يلي :

أنواع المثلث حسب أطوال الأضلاع :

يتم تصنيف المثلث حسب أطوال أضلاعه إلى ثلاثة أنواع وهم كما يلي بالتفصيل :

النوع الأول المثلث المتساوي الأضلاع : وهو عبارة عن مثلث يكون جميع أضلاعه متساوية وتكون أيضاً جميع زوايا المثلث متساوية الأضلاع أيضاً وقيمة كل واحدة منهم تساوي مقدار 60 درجة .
النوع الثاني مثلث متساوي الضعلين : وهو عبارة عن مثلث يكون فيه ضلعين من أضلاعه متساويان وتكون الزاويتان المتقابلتان لهذان الضلعين تكونان متساويتان أيضاً ويُسمى هذا النوع بإسم المثلث المتساوي الساقين .
النوع الثالث مثلث مختلف الأضلاع : وهو عبارة عن مثلث تكون أطوال أضلاعه مختلفة تماماً وتكون أيضاً زوايا المثلث فيه مختلفة القيم والدرجات أيضاً .

أنواع المثلث حسب الزوايا الداخلية :

ويتم تقسيم هذا النوع أيضاً إلى ثلاثة أقسام وأنواع وهم كما يلي :

النوع الأول مثلث قائم الزاوية : وهو عبارة عن مثلث يكون له زاوية تكون قياسها 90 درجة أي زاوية قائمة ويُسمى الضلع الذي يكون مقابل للزاوية القائمة بإسم الوتر وأيضاً يُعد أطول أضلاع هذا المثلث .
النوع الثاني مثلث منفرج الزاوية : وهو عبارة عن مثلث تكون له زاوية يكون قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة أي زاوية منفرجة .
النوع الثالث حاد الزوايا : وهو عبارة عن مثلث يكون كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة أي زاوية حادة .

مفاهيم وحقائق عن المثلثات :

للعلم فإن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة .
أما الزاوية الخارجية للمثلث فإنها تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين والتي تكون غير المجاورة لها .
ويكون مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة أي واحدة لكل رأس وذلك لأي مثلث هي 360 درجة .

مفهوم تطابق المثلثات :

ولحدوث تطابق المثلثات يجب أن تتوافر أي من تلك الشرط التالية جيداً فيهم لكي يحدث ذلك التطابق وهذه الشروط هي كما يلي :

يجب أن تتساوى أطوال أضلاع المثلث المتناظرة فيهما أي (ضلع, ضلع, ضلع) .
أو يحدث تساوي لزاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية) .
أو أن يحدث تساوي لقياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر ويحدث تساوي في أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع) .

وفي حالة تحقق أي شرط من تلك الشروط السابقة ينتج التطابق الآتي للمثلثات :

تكون مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين .
أو يكون محيطي المثلثين المتطابقين متساويين .

مفهوم المثلثات المتشابهة :

تكون المثلثات متشابهة أو في حالة تشابه إن كان لهما نفس الشكل تماماً .
حيث تكون الزوايا المتقابلة لكل مثلث منهما متساوية .
وأيضاً تكون أضلاع المثلثات أو المثلثين المتشابهين تكون متناسبة .
ولا يٌشترط أن يكون المثلثان متشابهان في نفس الحجم لكي يحدث ذلك التشابه بين هذان المثلثان .
وفي حالة إن كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضاُ .
وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول تكون مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني .
ويرمز للتشابه بالرمز (~) .

حالات تشابه المثلثات :

هناك ثلاثة حالات يجب أن تحدث لكي يحدث تشابه للمثلثات أو تكون المثلثات متشابهة وهم كما يلي :

أولاً يحدث تشابه للمثلثان في حالة إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما أي (ضلع، ضلع، ضلع) .
ثانياً يحدث تشابه للمثلثان في حالة إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني أي (زاويا) .
ثالثاً يحدث تشابه للمثلثان في حالة إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر وتناسبت أطوال الضلعين اللذين يحتويان على هذه الزاوية أي (ضلع، زاوية، ضلع) .

وبذلك يحدث تشابه للمثلثات إذا توافرت الحالات السابقة وتكون النتائج هي كما يلي :

أولاً تكون النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما .
ثانياً تكون النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما .

مفهوم نظرية فيثاغورس :

نظرية فيثاغورس هي إحدى النظريات المهمة في علم الرياضيات وهي عبارة عن علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية التي وضعها العالم إقليدس في الرياضيات بين أضلاع المثلث القائم الزاوية .
وتنص نظرية فيثاغورث على ما يلي :
مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة يكون مساوي لمربع طول الوتر .
والمعادلة الخاصة بنظرية فيثاغورث تكون كما يلي : (طول الوتر) ² = (مربع الضلع الأول) ² + (مربع الضلع الثاني) ² .
أي : ب ج² = أب² + ب ج² .
ومثال على نظرية فيثاغورث إذا كان : أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية لذلك قم بحساب طول الوتر ب ج والبحث عنه علمًا إن الضلعين أب= 3 و ج أ= 4 .
ويكون حل المسألة السابقة حسب نظرية فيثاغورث هو كما يلي : ب ج²= 3²+4² .
وبالتالي فإن حساب المعادلة يكون كالتالي : ب ج² =9+16 =25 .
وبعد العمل على فك الجذر التربيعي للمعادلة تكون النتيجة هي كما يلي : ب ج = 5 .
أما نظرية فيثاغورث العكسية فإنها تنص على أن في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية .
والزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر .
ومعادلة نظرية فيثاغورث العكسية تكون كما يلي : في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث يكون مثلث قائم الزاوية في C.