ماهي الاعداد الاوليه وغير اوليه، من الممكن أن نقوم بتعريف الأعداد الأولية على أنها هي عبارة عن الأعداد الصحيحة الموجبة ولكن الأكبر من الواحد، وهي أيضاً الأعدا التي من الممكن أن تقبل القسمة ولكن على عددين فقط، ألا وهما: نفسها، والواحد فقط، أما بالنسبة لأي عدد أخر يقبل القسمة على غير الواحد أو على نفسه، فيسمى ذلك بالعدد غير الأولي، أو العدد المركب، وهي عبارة عن الأعداد التي من الممكن القيام بتجزئتها، على سبيل المثال العدد “28”، حيث أن ذلك العدد له الكثير من العوامل، والجدير بالذكر أيضاً أن العددان “0/1” يتم إستبعادهم من قائمتي الأعداد المركبة وكذلك الأعداد الأولية، ويعد العدد “2” هو أو عدد في الأعداد الأولية، وكذلك يعتبر العدد الزوجي الأولي الوحيد.
ما يميز الأعداد الأولية
- جميع الأعداد الأولية عدا (2) هي فردية.
- جميع الأعداد الصحيحة التي تزيد عن العدد (3) يمكن التعبير عنها كنتيجة لمجموع عددين أوليين.
- العددان الأوليان المتتاليان فقط هما (2،3).
- جميع الأعداد الصحيحة غير (0،1) هي إما أعداد أولية أو مركبة.
- لا يمكن لعدد ينتهي بأحد العددين (5، 0)؛ مثل 25، 30 أن يكون أولياً.
- إذا كان مجموع الأرقام المكوّنة لعدد ما من مضاعفات العدد (3) فلا يمكن لهذا العدد أن يكون أولياً.
كيفية القيام بتحديد الأعداد الأولية
من الممكن القيام بتحديد الأعداد الأولية عن طريق غستخدام بعض الطرق والتي تتمثل في:
- القيام بالتحليل إلى العوامل، ومن خلال تلك الطريقة من الممكن القيام بتحديد إذا كان العدد أولياً سواء كان بشكل سريع أو بسيط، والخلاصة أنه يتم البحث عن الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد المطلوب تحليله إلى عوامله بالاستعانة بالنظرية السابقة أو بالتخمين؛ فلو أخذنا العدد 15 على سبيل المثال، فإنّنا نجد أنّ 3 و5 حاصل ضربهما هو 15، وعليه يعتبر العدد 15 عدداً مركّباً وليس أولياً؛ لوجود أعداد غيره يمكن له القسمة عليها دون باقٍ، وهي:””3/5.
- من أهم ما يميز العدد المركب أنه لابد عليه أن يقبل القسمة على عدد أولي يقل عنه أو عدد يساوي جذره ولكن بدون أي باقي، فعلى سبيل المثال إذا كان العدد “ن” عدد مركب، فنتيجة لذلك لابد عليه أن يقبل القسمة دون أي باقي على عدد من الأعداد الأولية ولكن الأعداد التي تقل عن أو الأعداد التي تساوي ن√، ولكن في حال لم قبوله للقسمة وبدون باقي على كل تلك الأعداد فهذا يؤكد أن ذلك العدد عدد أولي فمثلاً العدد 23 لا يمكنه القسمة على أي عدد أولي يقل عن أو يساوي 23√ دون باقٍ، وهذا يُثبت أنه أولي.
بعض الأمثلة عن الأعداد المركبة والأعداد الأولية
المثال الأول: ما هي الأعداد الأوليّة الأصغر من العدد 100؟
الإجابة: الأعداد الأولية الأصغر من العدد 100، هي: (97,89,83,79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2).
المثال الثاني: ما هي الأعداد الأوليّة المحصورة بين (50-59)، (40-49)؟
الإجابة: 53،59 عددان أوليان محصوران بين (50-59)، فهما لا يقبلان القسمة إلا على نفسهما والعدد (1).
43،41، 47 هي الأعداد الأولية المحصورة بين (40-49)، فهي لا تقبل القسمة إلا على نفسهما والعدد (1).
المثال الثالث: هل الأعداد (73,10,8,53,19,119) أوليّة أم مُركّبة؟
الإجابة: العدد 8 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×4 = 8، وبذلك يُستبعَد من قائمة الأعداد الأوليّة.
العدد 73 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 73.
العدد 10 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×5 = 10.
العدد 19 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 19.
العدد 53 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 53.
العدد 119 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 17×7 = 119.
المثال الرابع: فسّر سبب أن الأعداد الآتية (29,13,7,5) هي أعداد أوليّة؟
الإجابة: جميع هذه الأعداد تقبل القسمة على نفسها وعلى العدد واحد فقط.
العدد الاولي
دعونا نتكلم بشئ من التفصيل، العدد الأولي أو كما يطلق عليه في بعض الأحيان بالعدد الأول هو عبارة عن عدد طبيعي أكبر من العدد1، وكما ذكرنا من قبل أنه عدد لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد 1 فقط، على سبيل المثال العدد “5”، فهو عدد لا يقبل القسمة إلا على العددين “1/5″، أما بالنسبة للرقم 8 على وجه المثال فهو عدد غير أولي حيث يقبل القسمة على ” 1/4/2″، تعمل المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور الرئيسي والمركزي للأعداد الأولية بنظرية الأعداد : “كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر إلي ترتيب هؤلاء الأعداد داخل المجموعة)”. هذه المبرهنة تلزم إقصاء العدد 1 من لائحة الأعداد الأولية، وقد قام العالم إقليدس بالتأكيد على أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة غير منتهية، وقد قام بالتأكيد على ذلك في عام 300 قبل الميلاد، فتلك المجموعة لا تعرف أي صيغة، والجدير بالذكر أن التوزيع الخاص بالأعداد الأولية هو توزيع من المكن أن يخضع لألية الدرس، أو من الممكن أن تقام حوله مجموعة من النظريات المختلفة، و بالفعل قامت الأعداد الأولية بالخضوع إلى الكثير من البحوث المختلفة.
الأعداد غير الأولية
أما بالنسبة للعدد الغير أولي أو كما يسمى في بعض الأحيان بالعدد المؤلف أو العدد المركب، هو عبارة هو العدد الصحيح الموجب صاحب القواسم الغير بديهية، والذي من الممكن القيام بالتعبير عنه من خلال ضرب عددين صحيحين قيمتهم أصغر منه، وكل عدد يطلق عليه غير أولي إذا كان لديه القابلية للقسمة على عدد واحد كحد أدني غير الواحد ونفسه، بذلك يكون كل عدد صحيح قيمته أكبر من الواحد إما هو عدد أوليا إما مركبا، أما العددان صفر و واحد فلا يحملان صفات الأعداد المركبة أو الأعداد الأولية.
مثال: العددان 2 و 3 عكس ذلك، فهما ليسا عددين مركبين، وذلك لأنهم لا تصلح كتابتهم إلا بصيغة 1*2 أو 3*1، وكذلك الرقم 11 فهو عدد لا بحمل سمات الرقم المركب، فهو عدد غير مركب (أولي) لأنه لا يمكن أن نكتبه إلا في صورة 11*1 فقط، وهذه العوامل تعتبر قواسم بديهية للرقم 11.
مثال أخر لتوضيح عملية تحليل العدد الصحيح
33*25=864
وكذلك نجد أن قواسم العدد 150 هي عبارة عن:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150
