يريد عمر بناء سياج لمساحة مستطيلة قدرها $30 \text{ ft}^2$. التحدي هنا ليس في المساحة، فهي ثابتة، بل في تقليل طول السياج (المحيط) إلى أقصى حد ممكن لتوفير المواد والتكلفة.
1. فهم العلاقة بين المساحة والمحيط
لدينا قانونان أساسيان للمستطيل:
ومنها نستنتج أن العرض $y = \frac{30}{x}$.
2. القاعدة الذهبية للمستطيلات
هناك قاعدة ثابتة في الرياضيات الفيزيائية والهندسية تقول: “لكي نحصل على أصغر محيط لمساحة مستطيلة ثابتة، يجب أن يكون الشكل أقرب ما يكون إلى المربع.”
بمعنى آخر، كلما تساوى الطول والعرض، قلّ المحيط. فالمربع هو حالة خاصة من المستطيل وهو الأكثر كفاءة دائماً في الإحاطة بالمساحات.
3. حساب الأبعاد المثالية
لإيجاد الأبعاد التي تجعل المستطيل مربعاً (أو قريباً منه)، نأخذ الجذر التربيعي للمساحة:
الاجابة :
- الطول =tf 6
- العرض = tf 5
إذن، الأبعاد التي تحقق أصغر محيط لعمر هي أن يكون الطول والعرض متساويين وقيمتهما حوالي 5.48 قدم.
للحصول على أصغر محيط لمساحة $30 \text{ ft}^2$، يجب على عمر جعل السياج على شكل مربع بأبعاد تقريبية 5.48 قدم لكل ضلع.
