في عالم الرياضيات، نعتاد على أن الضرب عملية تجميعية؛ أي أن $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$. لكن عندما ننتقل إلى المتجهات، تختلف القواعد تماماً بسبب طبيعة “الناتج” من كل عملية.
ما هو الضرب الداخلي؟
الضرب الداخلي (أو الضرب القياسي Dot Product) بين متجهين، وليكن $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$، هو عملية تأخذ متجهين وتعطينا كمية قياسية (مجرد رقم)، وليس متجهاً جديداً.
$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta)$$
لماذا لا توجد خاصية تجميعية في الضرب الداخلي؟
لكي تتحقق الخاصية التجميعية، يجب أن يكون التعبير $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$ مساوياً للتعبير $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$. دعنا نحلل الطرفين لنرى الخلل المنطقي:
الطرف الأول $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$:
هنا، نقوم أولاً بحساب $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$. النتيجة هي رقم (Scalar). الآن، نحن نحاول ضرب هذا “الرقم” داخلياً في المتجه $\mathbf{w}$. لكن الضرب الداخلي لا يُعرَّف بين رقم ومتجه، بل بين متجهين فقط! ما يحدث فعلياً هنا هو “ضرب قياسي بسيط” يؤدي إلى تطويل أو تقصير المتجه $\mathbf{w}$ في اتجاهه الأصلي.
الطرف الثاني $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$:
هنا، النتيجة ستكون متجهاً في اتجاه $\mathbf{u}$ لأن $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$ هو مجرد رقم مضروب في $\mathbf{u}$.
النتيجة:
- الاجابة : خطأ.
الطرف الأول هو متجه يشير إلى اتجاه $\mathbf{w}$، بينما الطرف الثاني هو متجه يشير إلى اتجاه $\mathbf{u}$. وبما أن $\mathbf{u}$ و $\mathbf{w}$ متجهان مختلفان في الاتجاه عادةً، فمن المستحيل أن يتساوى الطرفان.
هل هناك بديل؟ (الخاصية التجميعية مع الأرقام)
ما يتحقق في الضرب الداخلي هو نوع مختلف من “التجميع” يربط بين الأرقام (الكميات القياسية) والمتجهات. إذا كان لدينا رقم $k$، فإن:
$$(k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot (k\mathbf{v})$$
وهذا يعني أنه يمكنك ضرب الرقم في أي من المتجهين قبل إجراء الضرب الداخلي، أو إجراء الضرب الداخلي أولاً ثم ضرب الناتج في الرقم، وستحصل دائماً على نفس النتيجة.
الضرب الداخلي ليس تجميعياً لأن ناتج ضرب متجهين هو “رقم”، وهذا الرقم “يكسر” سلسلة العمليات المتجهة. الضرب الداخلي مصمم لقياس تعامد المتجهات أو أطوال مساقطها، وليس لإنشاء هيكل جبري تجميعي مثل الأعداد.
