تعتبر الهندسة المستوية من أمتع فروع الرياضيات لأنها تعتمد على المنطق والربط بين الخصائص. من الأسئلة الشائعة التي يواجهها الطلاب هي تحديد الشروط الكافية لتحول شكل هندسي إلى شكل آخر أكثر تخصيصاً، مثل تحول متوازي الأضلاع إلى معين.
إليك الإجابة التفصيلية حول العبارة المطروحة:
الإجابة المختصرة
العبارة صواب. يكون متوازي الأضلاع $QRST$ معيناً إذا كان قطراه متعامدين ($QS \perp RT$).
تحليل العلاقة بين متوازي الأضلاع والمعين
لكي نفهم لماذا تعتبر هذه العبارة صحيحة، يجب أن ننظر إلى تعريف كل شكل وخصائصه الفريدة:
1. تعريف متوازي الأضلاع
هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. ومن خصائص أقطاره أنها تنصف بعضها البعض، لكنها ليست بالضرورة متساوية في الطول أو متعامدة.
- الاجابة : صواب.
2. تعريف المعين
المعين هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، تتوفر فيه جميع خصائص متوازي الأضلاع بالإضافة إلى مميزات إضافية تجعل أضلاعه الأربعة متطابقة.
3. خاصية الأقطار المتعامدة
في أي متوازي أضلاع، إذا تقاطع القطران وزاوية التقاطع بينهما كانت قائمة ($90^{\circ}$)، فهذا يعني آلياً أن الأضلاع المتجاورة متطابقة.
في الحالة المذكورة في سؤالك:
القطر الأول هو $QS$.
القطر الثاني هو $RT$.
العلاقة $QS \perp RT$ تعني أنهما متعامدان.
لماذا يكفي تعامد الأقطار لإثبات أنه معين؟
عندما يتعامد القطران في متوازي أضلاع، فإنهما يشكلان أربعة مثلثات قائمة الزاوية داخل الشكل. وبما أن الأقطار تنصف بعضها البعض (خاصية متوازي الأضلاع الأصيلة)، تصبح هذه المثلثات الأربعة متطابقة تماماً (ضلع، زاوية، ضلع). هذا التطابق يؤدي إلى أن جميع الأضلاع الخارجية للشكل ($QR, RS, ST, TQ$) تصبح متساوية في الطول، وهو التعريف الأساسي للمعين.
متى يكون متوازي الأضلاع معيناً أيضاً؟
بالإضافة إلى تعامد الأقطار، هناك حالات أخرى تجعل متوازي الأضلاع معيناً:
إذا تطابق ضلعان متجاوران فيه.
إذا كان أحد أقطاره ينصف الزاويتين المتقابلتين اللتين يصل بينهما.
إذا أعطاك المعلم متوازي أضلاع وأثبتّ أن قطريه يصنعان زاوية قائمة، يمكنك أن تعلن بثقة أنه “معين”.
