قانون مساحة القطاع الدائري يوضح أن القطاع الدائري هو جزء من الدائرة يتم تحديده بنصفي القطر والقوس، ويطلق على الزاوية التي تنحصر بين نصفي القطر اسم زاوية القطاع أو الزاوية المركزية، يعد القطاع الدائري الذي تكون زاويته ١٨٠ درجة يكون نصف الدائرة، أما القطاع الذي تكون زاويته ٩٠ درجة يكون ربع دائرة، فما هو قانون مساحة القطاع هذا ما سنتعرف عليه في ميرال نيوز.
قانون مساحة القطاع الدائري
- يعتمد ذلك القانون على زاوية القطاع أو على الزاوية المركزية، حتى يتم تطبيقه والحصول على النتائج الرياضية الصحيحة.
- تزداد مساحة القطاع الدائري بزيادة الزاوية المركزية لهذا القطاع، والعكس صحيح حيث تقل المساحة
إذا قلت الزاوية المركزية، ويتم استخدام تلك النتائج. - تتناسب مساحة القطاع الدائري مع طول القوس في القطاع الدائري تناسباً طردياً.
- لحساب مساحة القطاع الدائري يكون بتطبيق القوانين الآتية:
في حالة معلومية مساحة الدائرة و الزاوية المركزية للقطاع بالدرجات:
- مساحة القطاع الدائري = مساحة الدائرة كاملة × (زاوية القطاع / ٣٦٠).
- مساحة القطاع الدائري = (π× مربع نصف القطر) × (زاوية القطاع / ٣٦٠).
- قانون مساحة القطاع بالرموز: مساحة القطاع الدائري= π× نق² × (هـ / ٣٦٠).
- حيث π: هو ثابت باي قيمته ٣.١٤.
- نق: هو نصف قطر الدائرة.
- هـ: هو قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالدرجات.
في حالة معلومية نصف قطر الدائرة وزاوية القطاع بالراديان:
مساحة القطاع الدائري =٢/١ × زاوية القطاع × مربع نصف القطر.
القانون بالرموز:
- مساحة القطاع الدائري = ٢/١ × نق² × هـ.
- حيث نق: هو نصف قطر الدائرة.
- هـ: قياس الزاوية المركزية أو زاوية القطاع بالراديان.
- في حالة معلومية طول قوس القطاع:
- مساحة القطاع الدائري = (نصف القطر × طول قوس القطاع) /٢.
أمثلة على قانون مساحة القطاع الدائري
المثال الأول:
ما هي مساحة القطاع الدائري في دائرة نصف قطرها ٥ سم، وزاوية القطاع في الدائرة ٦٠ درجة؟.
الحل:
بالتطبيق المباشر في القانون = π × نق²× (هـ/٣٦٠) = ٥ ٢ × ٣.١٤ × (٣٦٠/ ٦٠) = ١٣,٠٩ سم².
المثال الثاني:
قطاع دائري مساحته ٣٥,٤ سم²، ونصف القطر للدائرة ٦سم، فما هي الزاوية المركزية لهذا القطاع ؟.
الحل:
بالتطبيق المباشر في القانون.
مساحة القطاع الدائري= π×نق² × (هـ/٣٦٠)
٣٥,٤= ٣,١٤ × ٦ ٢ × (هـ/٣٦٠)
إذاً هـ= ١١٢,٦٧ درجة.
المثال الثالث:
قطاع دائري في دائرة زاوية القطاع ٣ راديان ونصف قطر الدائرة ٥ سم، فما هي مساحة القطاع الدائري ؟.
الحل:
بالتطبيق المباشر في قانون مساحة القطاع الدائري:
- مساحة القطاع الدائري=٢/١ × زاوية القطاع × مربع نصف القطر
- مساحة القطاع الدائري=٢/١ × ٣ × ٥ ٢ = ٣٧,٥ سم².
المثال الرابع:
زاوية مركزية لقطاع دائري في دائرة تساوي ١٢٠ درجة ونصف قطر الدائرة ٤٢ سم، فما هي مساحة القطاع الدائري ؟.
الحل:
بالتعويض المباشر في القانون.
مساحة القطاع الدائري= π × نق² × (هـ/٣٦٠) =٤٢ ٢ × ٣,١٤ × (٣٦٠ / ١٢٠) = ١٨٤٨ سم².
المثال الخامس:
ما هي مساحة القطاع الدائري بدائرة نصف قطرها ٣ م وطول القوس الذي يقابله ٥ π سم وتقاس زاوية القطاع بالراديان ؟.
الحل:
- بالتطبيق المباشر في قانون طول القوس
- طول القوس= نق × θ، فإن
- ٥ π = ٣θ
- بالتعويض θ = ٥ π/٣ راديان
- بالتعويض في قانون مساحة القطاع الدائري مساحة القطاع الدائري=٢/١ × زاوية القطاع × مربع نصف
- القطر.
- مساحة القطاع الدائري= ٣ × ٢/١ × ٥ π/٣ إذاً مساحة القطاع الدائري = ٢٣,٥٥ سم².
المثال السادس:
قطاع دائري مساحته ١٠٨ سم٢ وطول القوس الذي يقابله ١٢ سم، فما هو طول قطر الدائرة ؟.
الحل:
بالتطبيق في قانون القوس =ن ق × θ، فإن: ١٢=نق × θ. (١)
بالتعويض في القانون = ٢/١ × زاوية القطاع × مربع نصف القطر،
بالتعويض ١٠٨ =٢/١ × θ × نق². (٢)
بالتعويض من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية نجد أن: ١٠٨=٢/١ × (θ × نق) × نق = ٢/١ × ١٢ × نق
إذاً نق = ١٨سم، وهي قيمة نصف قطر الدائرة، وللحصول على قيمة قطر الدائرة فإن (ق) = ٢نق =٢ × ١٨= ٣٦ سم.
طريقة أخرى لحل المثال السابق
بتطبيق قانون مساحة القطاع الدائري:
مساحة القطاع الدائري= (نصف القطر × طول قوس القطاع) /٢، فإن ١٠٨= (نق × ١٢) /٢.
والتعويض نجد أن نق= ٦ سم
بما أن طول القطر فيساوي ق= ٢ نق = ٢ × ١٨= ٣٦ سم.
