الأسطوانة هي عبارة عن التفاف مستطيل حول ضلع من أضلاعه وهو يعد جوانب الأسطوانة، كما تتكون من قاعدتين دائرتين متساويين، الأسطوانة لها مساحة كلية و جانبية ولها حجم،وفيما يلي في ميرال نيوز سوف نناقش قانون مساحة وحجم الأسطوانة.
قانون مساحة وحجم الأسطوانة
نحتاج إلى معرفة بعض المصطلحات لحساب مساحة وحجم الأسطوانة ومنها:
- الارتفاع: وهو يشير إلى العمود الموجود بين القاعدة الدائرية السفلية والعلوية ويمكن الإشارة إليه بالرمز (ع).
- نصف القطر: وهو نصف القطر لأحد القاعدين الدائرتين الموجودين في الأسطوانة، ويمكن الإشارة إليه بالرمز (نق).
- باي: وهو عدد ثابت القيمة قيمته ٧/٢٢ أو بالتقريب يساوي، ٣,١٤، ويمكن الإشارة إليه بالرمز (π).
مساحة الاسطوانة
تنقسم مساحة الأسطوانة إلى مساحة جانبية ومساحة كلية ولحساب كلاً من المساحتين يتم اتباع القوانين الآتية:
المساحة الجانبية للأسطوانة:
- يقصد بالمساحة الجانبية المساحة الكلية للأسطوانة بدون مساحة القاعدتين.
- الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل ملتف حول القاعدتين، لذلك فإن المساحة الجانبية هي مساحة المستطيل ويمكن حسابها باستخدام القانون: مساحة المستطيل = طول المستطيل× عرض المستطيل.
- وفي تلك الحالة عرض المستطيل هو الارتفاع للأسطوانة.
- طول المستطيل هو محيط القاعدة الدائرية، ويمكن حسابه من القانون: محيط القاعدة الدائرية= ٢×π× نق القاعدة.
- ومن ذلك يكون قانون حساب المساحة الجانبية للأسطوانة هو:
المساحة الجانبية للأسطوانة = (( ٢×π× نصف قطر القاعدة) × الارتفاع).
- القانون بالرموز: مساحة الأسطوانة الجانبية =( ٢×π×نق×ع).ش
المساحة الكلية للأسطوانة
- الأسطوانة هي عبارة عن مستطيل ملتف وقاعدتين دائرتين، لذلك تكون المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة المستطيل و مساحة القاعدتين الدائرتين، أي أن المساحة الكلية هي مجموع المساحة الجانبية للأسطوانة و مساحة القاعدتين.
- يمكن حساب المساحة الكلية للأسطوانة من القانون: مساحة الأسطوانة الكلية= مساحة الأسطوانة الجانبية + مساحة القاعدة الدائرية العلوية+ مساحة القاعدة السفلية.
- مساحة الاسطوانة الكلية= π× نق² + π× نق² + ٢× π×نق ×ع = ٢× π× نق²+ ٢× π×نق ×ع، يمكن أخذ (٢×π×نق) كعامل مشترك، فإن المساحة الكلية للاسطوانة =٢× π× نصف قطر الأسطوانة×(نصف قطر الأسطوانة+ ارتفاع الأسطوانة).
- القانون بالرموز: المساحة الكلية للأسطوانة = ٢×π × نق×(نق+ع).
كيف أحسب مساحة الأسطوانة
يمكن حساب مساحة الأسطوانة عن طريق تطبيق قوانين المساحة، وسوف نعرض بعض الأمثلة لتوضيح كيفية حساب مساحة الأسطوانة، ومنها؛
المثال الأول:
ما هي المساحة الجانبية للأسطوانة التي قطرها ٢٠ سم، وارتفاعها ٩ سم؟
الحل:
لحساب مساحة الأسطوانة الجانبية، يجب معرفة نصف القطر.
يمكن حساب نصف القطر من: نصف القطر= طول القطر/٢ = ٢/٢٠ = ١٠سم.
بالتعويض المباشر في قانون المساحة الجانبية:
المساحة الجانبية للأسطوانة = ٢×π×نق×ع،
المساحة الجانبية للأسطوانة =٢× ٣,١٤ × ١٠×٩ = ٥٦٥,٤ سم ٢.
المثال الثاني:
أسطوانة نصف قطرها ٦ سم، وارتفاعها ١٠ سم، فما هي مساحتها الجانبية؟.
الحل:
بالتطبيق المباشر لقانون مساحة الأسطوانة الجانبية: مساحة الأسطوانة الجانبية = ٢×π×نق×ع = ٢× ٣,١٤ × ٦ × ١٠ = ٣٧٦,٩٩ سم ٢.
حجم الأسطوانة
- يقصد بحجم الأسطوانة هو كمية المادة الموجودة داخل الأسطوانة.
- قد يمكن أن يعبر عن حجم الأسطوانة بأنه السعة اللازمة لملء الاسطوانة.
- يتم حساب حجم الاسطوانة عن طريق تطبيق القانون الآتي:
حجم الاسطوانة= مساحة القاعدة × الارتفاع.
- القانون بالرموز: π × نق٢× ع.
حيث تشير الرموز إلى:
- نق: وهو نصف قطر القاعدة.
- (π): وهو عدد ثابت القيمة قيمته ٧/٢٢ أو بالتقريب يساوي، ٣,١٤.
- ع: وهو ارتفاع الأسطوانة.
أمثلة توضيحية لحساب حجم الأسطوانة
المثال الأول:
أسطوانة نصف قطرها ٣سم وارتفاعها ٦سم، فما هو حجمها؟.
الحل:
بالتطبيق المباشر لقانون حجم الاسطوانة:
حجم الاسطوانة = π×نق٢×ع = ٣,١٤ × ٣ ٢×٦= ١٦٩,٦ سم³.
المثال الثاني:
ما هي مساحة وحجم الأسطوانة التي نصف قطرها ٣سم وارتفاعها ٥ سم.
الحل:
بالتطبيق المباشر لقانون المساحة والحجم نجد أن؛
- مساحة الأسطوانة الكلية = ٢×π×نق×(نق+ع) = ٢×٣,١٤×٣× (٣+٥) = ١٥٠,٧٢م².
- حجم الأسطوانة = π×نق٢×ع = ٣,١٤× ٣ ٢× ٥= ١٤١,٣م³.
المثال الثالث:
ما هو حجم الاسطوانة التي قطرها ٦ سم وارتفاعها ٩ سم؟.
الحل:
يتم حساب قيمة نصف قطر الأسطوانة = ٢/٦ =٣سم.
بالتطبيق المباشر لقانون حجم الاسطوانة:
حجم الأسطوانة = π×نق٢×ع= ٣,١٤× ٢٣× ٩ = ٢٥٤,٣٤سم³.
