بحث عن تحليل الدوال ، تمثل الدوال وتحليل الدوال جزء هام في علم الرياضيات، وقد يجدها الكثير من الطلاب جزءًا صعباً، ولكن الموضوع ليس بهذه الصعوبة، ولكنه فقط موضوع كبير و يضم الكثير من المعلومات، التي سوف نحاول في هذا المقال أن نقدمها أهمها بشكل مبسط؛ لتسهيل فهمها للطلاب والدارسين.
ما هي الدالة؟
أن الدالة هى التمثيل الرياضي لعلاقة تربط بين مجموعتين من العناصر تسمى المجموعة الأولى بالمستقر و تسمى المجموعة الثانية بالمنطلق، و بناء على ذلك فإن العنصر” س ” من المجموعة الأولى يرتبط بعنصر واحد فقط من المجموعة الثانية و يمكننا أن نرمز له ” ص “.
كل تابع من مجموعة ” س ” و مجموعة ” ص ” يمكنهما الارتباط بعناصر المجموعتين و لكن لكل تابع عنصر واحد فقط يمكنه الإرتباط به.
ما هو تحليل الدوال أو التحليل الدالي؟
تحليل الدوال أو التحليل الدالي Functional analysis هو أحد فروع علم الرياضيات الذي يهتم بدراسة فضاءات الدوال، ويشمل دراسة الفضاءات (الفراغات) الإتجاهية ذات أي عدد من الأبعاد.
كما يشمل تحليل الدوال دراسة التحويلات ودراسة التابعيات المعرفة على فضاءات الدوال من خلال حساب التغيرات مثلا (دراسة المتغيرات).
تحليل الدوال له تطبيقات هامة في الفيزياء وبالذات ميكانيكا الكم وفي علم الإقتصاد والأمثلية.
بدأ تحليل الدوال كنظام رياضي مستقل في مطلع القرن التاسع عشر، وتم إنشاءه بشكل كامل في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين بعد تطور الرياضيات الحديثة.
تأثر تطوير تحليل الدوال بميكانيكا الكم؛ لأن مفاهيمها الأساسية تحولت إلى عوامل خطية على فضاءات غير محدودة الأبعاد.
تحليل الدوال هو توسيع وتعميم للتحليل الرياضي التقليدي، وله دور كبير في تنظيمه وتوضيحه بالكثير من المسائل التي تخصه. ويعتقد العديد من الرياضيين أن التحليل الدالي هو نتيجة لدمج فرعي الجبر والطبولوجيا.
ومن أهم العلماء الذين ساعدوا على تطوير هذا النظام الرياضي: إيڤار فريدهولم ودافيد فولترا ودافيد هيلبرت.
وقد ظهر في العقود الثلاثة الأولى من القرن العشرين بضعة نظريات أساسية في موضوع التحليل الدالي والتي أصبحت فيما بعد أركان هذا النظام الرياضى.
وأهمها:
- نظرية هان باناخ Hahn – Banach Theorem
- المحدودية المنتظمة Uniform Boundedness Theorem
- نظرية الصورة المغلقة Closed Graph Theorem
ومن أهم مواضيع تحليل الدوال:
- الفراغات المعيرة و فراغات بناخ.
- فراغات حاصل الضرب القياسى و فراغات هيلبرت.
- فضاء باناخ.
- حساب التغيرات.
مفهوم الفضاء في تحليل الدوال
في موضوعنا بحث عن تحليل الدوال ، سنتعرض لمفهوم هام وهو الفضاء الدالي Function Space هو مجموعة تطبيقات بخصائص معينة تنطلق من مجموعة معروفة X ومستقرها في مجموعة معروفة Y.
تستعمل هذه التسمية في التحليل الدالي لوصف فضاءات بمميزات خاصة في الرياضيات، وتشمل فضاءات طوبولوجية أو فضاءات متجهية.
تعتبر مساحات ناقلات الطوبولوجيا أو فضاءات ناقلات الطوبولوجيا هي أكثر المساحات العامة التي يتم تحليلها في تحليل الدوال، وهي مسافات متجهة (خطية) على ميدان الأعداد المركبة أو أي حقل آخر مثل الأعداد النسبية أو الرقم الحقيقي.
يهتم تحليل الدوال بدراسة المساحات اللانهائية الأبعاد ، وهي الفراغات التي توجد بها مجموعة لا نهائية من النواقل المستقلة خطيا.
وتشمل أنواع الفضاء التي يتناولها التحليل الدالي: فضاء ال بي، وفضاء هلبرت، وفضاء باناخ.
تسمى المساحة المزودة بمنتج داخلي بمساحة ما قبل هيلبرت، وهي حالة خاصة من الفضاء المعياري. أما إذا كانت هذه المساحة مكتملة، فتسمى بمساحة أو فضاء هيلبرت وهي من أبسط المساحات.
يمكن نقل عدد كبير من المنشآت ذات الأبعاد المحدودة إلى فضاء هيلبرت، حيث تكتسب شخصية تحليلية.
دراسة الوظائف في تحليل الدوال
تعتبر دراسة الوظائف المستمرة والوظائف الخطية أساسا هاما في تحليل الدوال، وهناك إرتباطا وثيقا بين خصائصها وخصائص الفضاء الأصلي.
نظرية التمثيل
سنتناول في مقالنا بحث عن تحليل الدوال جانب هام وهونظرية التمثيل.
- نظرية التمثيل هي واحدة من الأساليب القوية المستخدمة في علم الرياضيات بشكل عام، وفي مجال تحليل الدوال بشكل خاص.
- تعني النظرية تمثيل الأشياء الرياضية المجردة بواسطة كائنات أبسط أو أكثر واقعية. فمثلاً، يمكن تفسير النظرية الطيفية على أنها تمثل عامل التشغيل الذاتي من قبل المشغل الذي يضاعف الوظائف القابلة للقياس لفئة معينة بواسطة المتغير المستقل.
تطبيقات تحليل الدوال( التحليل الدالي) في الفيزياء الرياضية والنظرية
- يتم تطبيق النظرية الطيفية للمشغلين في جميع نظريات الفيزياء الكوانتية: في نظرية المجال الكمي وفي الميكانيكا الإحصائية الكمية.
- تطبق نظرية طيفية في دراسة نماذج الأنظمة الديناميكية في الميكانيكا الكلاسيكية، في دراسة المعادلات الخطية في الديناميكا المائية وحقول غيبس وغيرها.
- يتم تطبيق نظرية التشتت في فيزياء الكم.
- تطبق جزيئات “Banach” في نظرية المجال الكمي، وخاصة في ما يسمى نظرية المجال البدهي.
- نظرية التشويش، وهي أساسا نظرية التشويش على المشغلين الخطيين ، يتم تطبيقها في جميع مجالات الفيزياء الرياضية تقريباً.
- يتم تطبيق تكامل الدوال والمقاييس في الفراغات الوظيفية في نظرية المجال الكمي البناء وفي الميكانيكا الإحصائية الكمية.
- طبقت العديد من التمثيلات المتكاملة (نظرية رييز ، ونظرية كيلين-ميلمان، ونظرية شوكيه وغيرها) في نظرية مجال الكم البصري وفي الميكانيكا الإحصائية.
- تطبق مسافات ناقلات (هي مسافات هيلبرت) في نظرية الكم وفي الفيزياء الإحصائية.
- يتم تطبيق الوظائف المعممة في كل مكان في الفيزياء الرياضية كأداة تحليلية مهمة.
تطبيقات التحليل الدالي في علم الاقتصاد
دخلت الطرق الكمية والرياضية في علم الإقتصاد منذ بداياته، وخاصة في القرن التاسع عشر.
بدأ استخدام تحليل الدوال أو التحليل الدالي في ثلاثينيات القرن العشرين من خلال تطبيق البرمجة الخطية والأمثلية.
من أعلام تطبيق التحليل الدالي في علم الاقتصاد عالم الرياضيات الروسي الحاصل على جائزة نوبل في الاقتصاد ليونيد كانتروفيتش.
تحميل كتاب التحليل الدالي pdf
يمكنكم التعرف على المزيد من المعلومات حول بحث عن تحليل الدوال من خلال تحميل كتاب التحليل الدالي بصيغة pdf.
